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Calcolatore di derivate parziali

Calcola le derivate parziali delle funzioni di più variabili rispetto a x, y oppure z. Inserisci polinomi, parentesi, potenze, funzioni trigonometriche, logaritmi, esponenziali, radici quadrate e molto altro. Calcola una derivata, tutte le derivate parziali prime oppure derivate seconde e miste. Puoi anche valutare i risultati in un punto specifico.

Esempi: x^2*y + y^3, sin(x*y)+e^x, (x+y)^2
Sintassi supportata
Puoi scrivere 2x oppure 2*x, usare potenze come x^2, parentesi e funzioni come sin, cos, tan, ln, exp e sqrt.
Esempio rapido: inserisci x^2*y + y^3, seleziona x e avvia il calcolo. Il risultato è 2xy, perché quando deriviamo rispetto a x, la variabile y viene trattata come una costante.

Che cos’è una derivata parziale?

Una derivata parziale descrive come varia una funzione di più variabili quando cambia una variabile mentre tutte le altre rimangono costanti. Per una funzione f(x,y), le due derivate parziali prime sono ∂f/∂x e ∂f/∂y.

\[ \frac{\partial f}{\partial x} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y} \]

Per una funzione con tre variabili, f(x,y,z), le tre derivate parziali prime sono:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} \]

Regole per le derivate parziali

Regola delle potenze

\[ \frac{\partial}{\partial x}x^n = nx^{n-1} \]

Regola della costante

\[ \frac{\partial}{\partial x}C = 0 \]

Regole della somma e della differenza

\[ \frac{\partial}{\partial x}(f+g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} \]

Regola del prodotto

\[ \frac{\partial}{\partial x}(fg) = g\frac{\partial f}{\partial x} + f\frac{\partial g}{\partial x} \]

Regola del quoziente

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{ g f_x - f g_x }{ g^2 } \]

Regola della catena

\[ \frac{\partial}{\partial x} F(g) = F'(g) \frac{\partial g}{\partial x} \]

Esempi di derivate parziali

Esempio 1

Per la funzione: \[ f(x,y)=x^2y+y^3 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy \]

Esempio 2

Per la funzione: \[ f(x,y)=3x^2+4xy+y^2 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4x+2y \]

Esempio 3

Per la funzione: \[ f(x,y,z)=xyz \]

\[ \frac{\partial f}{\partial z} = xy \]

Esempio 4 — Regola della catena

Per la funzione: \[ f(x,y)=\sin(xy) \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = y\cos(xy) \]

Espressioni matematiche supportate

Il calcolatore utilizza un parser simbolico per interpretare l'espressione inserita, senza eseguirla come codice PHP.

Categoria Esempi
Variabili x, y, z
Operazioni aritmetiche +, -, *, /
Moltiplicazione implicita 2x, xy, xyz, 2sin(x)
Potenze x^2, x^-2, (x+y)^2
Funzioni trigonometriche sin, cos, tan, cot, sec, csc
Funzioni trigonometriche inverse asin, acos, atan
Funzioni iperboliche sinh, cosh, tanh
Logaritmi ed esponenziali ln(x), log(x), exp(x), e^x
Radici e valori assoluti sqrt(x), abs(x)
Costanti pi, e

Derivate parziali seconde e miste

Una derivata parziale seconda si ottiene derivando una funzione due volte. Alcuni esempi sono:

\[ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}, \qquad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}, \qquad \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} \]

Una derivata parziale mista si ottiene derivando rispetto a due variabili diverse. Se la funzione è sufficientemente regolare, le derivate miste possono coincidere:

\[ \frac{\partial^2f} {\partial x\partial y} = \frac{\partial^2f} {\partial y\partial x} \]

Derivate parziali e gradiente

Il gradiente riunisce tutte le derivate parziali prime in un unico vettore. Per una funzione f(x,y,z):

\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]

Per calcolare il gradiente direttamente, puoi utilizzare il calcolatore del gradiente.

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Domande frequenti

Che cos’è una derivata parziale?

Una derivata parziale descrive come cambia una funzione di più variabili rispetto a una variabile selezionata, mantenendo costanti tutte le altre.

Che cosa significa ∂f/∂x?

∂f/∂x indica la derivata parziale di f rispetto a x. Durante la derivazione rispetto a x, le variabili y e z vengono trattate come costanti.

Qual è la differenza tra una derivata ordinaria e una derivata parziale?

La derivata ordinaria viene normalmente utilizzata per funzioni di una variabile. La derivata parziale si applica a funzioni di più variabili e descrive la variazione rispetto a una variabile selezionata.

È possibile calcolare tutte le derivate parziali contemporaneamente?

Sì. Seleziona Tutte le derivate parziali prime per calcolare ∂f/∂x, ∂f/∂y e ∂f/∂z.

Quali funzioni matematiche sono supportate?

Il calcolatore supporta x, y, z, operazioni aritmetiche, potenze, parentesi, moltiplicazione implicita, funzioni trigonometriche e inverse, funzioni iperboliche, logaritmi, esponenziali, radici quadrate e valori assoluti.

Posso calcolare una derivata parziale in un punto specifico?

Sì. Attiva l’opzione per valutare la derivata in un punto e inserisci i valori numerici delle variabili utilizzate nell’espressione.

Che cos’è il gradiente?

Il gradiente è il vettore formato dalle prime derivate parziali. Per f(x,y,z), il gradiente è (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z).

Che cosa sono le derivate parziali miste?

Una derivata parziale mista si ottiene derivando rispetto a due variabili, ad esempio ∂²f/(∂x∂y).