Calcolatore di somme di serie
Usa questo calcolatore gratuito per trovare la somma di una serie aritmetica o geometrica. Calcola serie finite passo dopo passo oppure determina la somma di una serie geometrica infinita quando converge. Il calcolatore mostra la formula, la sostituzione dei valori, il risultato e un'anteprima dei termini della serie.
Calcola la somma di una serie
Che cos'è una somma di serie?
Una somma consiste nell'addizionare una successione di numeri. In matematica, la sommatoria viene spesso rappresentata con la lettera greca maiuscola Sigma, Σ. Una serie si ottiene sommando i termini di una successione.
Per esempio, la serie 2 + 4 + 6 + 8 + 10 contiene cinque termini e la sua somma è 30.
La formula da utilizzare dipende dal tipo di serie. Due delle categorie più comuni sono le serie aritmetiche e le serie geometriche.
Serie aritmetica
Una serie aritmetica si ottiene sommando i termini di una successione aritmetica. Ogni termine consecutivo differisce dal precedente per una quantità costante.
Se il primo termine è a, la differenza comune è d e il numero di termini è n, la somma è:
Una formula equivalente è:
In questa formula, l rappresenta l'ultimo termine della successione aritmetica.
Esempio di serie aritmetica
Considera la serie:
Il primo termine è a = 3, la differenza comune è d = 4 e il numero di termini è n = 5.
Serie geometrica
Una serie geometrica è la somma dei termini di una successione geometrica. Invece di aggiungere una differenza costante, ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per uno stesso rapporto comune.
Per una serie geometrica finita con primo termine a, rapporto comune r e n termini, la formula è:
Questa formula è valida quando r ≠ 1. Se r = 1, tutti i termini sono uguali al primo termine e quindi:
Esempio di serie geometrica
Considera la serie:
In questo caso, a = 2, r = 3 e n = 4.
Serie geometrica infinita
Una serie geometrica infinita contiene un numero illimitato di termini. A differenza di una serie finita, la sua somma esiste come valore finito solo se la serie converge.
Per una serie geometrica della forma a + ar + ar² + ar³ + …, la condizione di convergenza è:
Quando |r| < 1, la somma infinita è:
Esempio di serie geometrica infinita
Considera la serie:
Il primo termine è 8 e il rapporto comune è 1/2. Poiché |1/2| < 1, la serie converge.
Se |r| ≥ 1, una serie geometrica infinita non converge a una somma finita, salvo il caso particolare in cui tutti i termini siano zero. Il calcolatore segnala quindi la divergenza invece di fornire un risultato numerico fuorviante.
Serie aritmetica e geometrica a confronto
| Caratteristica | Aritmetica | Geometrica |
|---|---|---|
| Come cambiano i termini | Si aggiunge una differenza costante | Si moltiplica per un rapporto costante |
| Parametro principale | Differenza comune d | Rapporto comune r |
| Esempio | 3, 7, 11, 15 | 3, 6, 12, 24 |
| Somma finita | Sn = n/2[2a + (n−1)d] | Sn = a(1−rn)/(1−r) |
| Somma infinita | Generalmente non finita | Converge se |r| < 1 |
Serie finita e serie infinita
Serie finita
Una serie finita contiene un numero determinato di termini. Per esempio:
Il numero di termini è noto, quindi è possibile applicare direttamente una formula per le somme finite.
Serie geometrica infinita
Una serie geometrica infinita continua senza un termine finale:
Una somma finita esiste quando il valore assoluto del rapporto comune soddisfa |r| < 1, oltre al caso particolare della serie nulla.
Come usare il calcolatore di somme di serie
- Seleziona Serie aritmetica oppure Serie geometrica.
- Seleziona Serie finita oppure, per una serie geometrica, Serie geometrica infinita.
- Inserisci il primo termine a.
- Per una serie aritmetica inserisci la differenza comune d; per una serie geometrica inserisci il rapporto comune r.
- Per una serie finita, inserisci il numero di termini n.
- Fai clic su Calcola la somma.
Il calcolatore mostrerà il risultato, la formula matematica appropriata e i singoli passaggi del calcolo.
Domande frequenti
Qual è la formula della somma di una serie aritmetica?
La formula standard è Sn = n/2[2a + (n − 1)d] , dove a è il primo termine, d è la differenza comune e n è il numero di termini.
Qual è la formula della somma di una serie geometrica?
Per una serie geometrica finita con r ≠ 1 si utilizza Sn = a(1 − rn)/(1 − r) . Se r = 1, la somma è semplicemente an.
Quando converge una serie geometrica infinita?
Una serie geometrica infinita converge quando |r| < 1. In questo caso, la somma è a/(1 − r).
La differenza comune può essere negativa?
Sì. La differenza comune può essere negativa. Per esempio, 20, 15, 10, 5 è una successione aritmetica con d = −5.
Il rapporto comune può essere negativo?
Sì. Una successione geometrica può avere un rapporto negativo. Per esempio, 4, −2, 1, −0,5 ha rapporto comune −1/2.
Qual è la differenza tra una successione e una serie?
Una successione è un elenco ordinato di numeri. Una serie si ottiene sommando i termini di una successione. Per esempio, 2, 4, 6, 8 è una successione, mentre 2 + 4 + 6 + 8 è una serie.
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