Calcola la derivata n-esima di una funzione passo dopo passo, dalla derivata seconda e terza fino alle derivate di ordine superiore.
Inserisci una funzione \(f(x)\), seleziona l'ordine di derivazione e ottieni il risultato simbolico con i relativi passaggi.
Una derivata superiore si ottiene derivando una funzione più di una volta. La prima derivata si indica con \(f'(x)\), la seconda con \(f''(x)\) e la derivata di ordine \(n\) con \(f^{(n)}(x)\).
Consideriamo, per esempio, la funzione:
Un polinomio diventa zero dopo un numero sufficiente di derivazioni. Altre funzioni, come \(e^x\), possono invece avere derivate non nulle a qualsiasi ordine.
La derivata seconda è la derivata della derivata prima:
La derivata seconda viene utilizzata per studiare la concavità e la convessità di una funzione. Nelle applicazioni fisiche, se la prima derivata della posizione rispetto al tempo rappresenta la velocità, la derivata seconda rappresenta l'accelerazione.
La derivata terza si ottiene derivando la derivata seconda:
In generale, la derivata di ordine \(n\) si scrive:
Le derivate superiori trovano applicazione nelle serie di Taylor, nelle equazioni differenziali, nella fisica, nell'ingegneria, nella modellizzazione matematica e nei metodi di approssimazione.
Per una funzione potenza \(x^m\), la derivata prima è:
Applicando ripetutamente questa regola, per un intero positivo \(n\leq m\) si ottiene:
Se \(n>m\), la derivata è zero. Questa proprietà vale per i polinomi quando gli esponenti sono interi non negativi.
La funzione esponenziale \(e^x\) è uguale alla propria derivata. Per ogni ordine naturale \(n\):
Le derivate del seno si ripetono secondo un ciclo di quattro passaggi:
Anche le derivate del coseno seguono un ciclo di quattro passaggi:
Consideriamo \(f(x)=x^3\):
Consideriamo \(f(x)=\sin(x)\):
Il calcolatore supporta attualmente le seguenti espressioni simboliche:
x
x^n,
2x^3,
-5x^4
x^4+2x^2-3x
sin(x),
cos(x),
tan(x)
exp(x)
ln(x)
Le espressioni con prodotti tra funzioni, funzioni composte, esponenti negativi o frazionari e applicazioni generali della regola della catena non sono attualmente supportate. Per ottenere risultati corretti, utilizza i formati elencati sopra.
È una derivata ottenuta derivando una funzione più di una volta. Per esempio, \(f''(x)\) è la derivata seconda, \(f'''(x)\) è la derivata terza e \(f^{(n)}(x)\) è la derivata di ordine \(n\).
La derivata n-esima è il risultato ottenuto derivando una funzione \(n\) volte. Se selezioni l'ordine 4, il calcolatore determina \(f^{(4)}(x)\), purché l'espressione inserita sia supportata.
Inserisci la funzione nel campo di input e imposta l'ordine della derivata su 2. Il calcolatore mostra la prima derivata e successivamente la seconda.
Inserisci la funzione e imposta l'ordine su 3. Il procedimento mostra in successione la derivata prima, la derivata seconda e la derivata terza.
Un polinomio diventa zero dopo un numero di derivazioni superiore al suo grado. Per esempio, \(x^3\) ha derivata terza uguale a \(6\) e derivata quarta uguale a \(0\).
Sì. Le derivate superiori sono utilizzate in fisica e ingegneria. Se la posizione viene derivata rispetto al tempo, si ottiene la velocità; derivando nuovamente si ottiene l'accelerazione. Le derivate di ordine superiore possono descrivere anche variazioni successive del moto.
Il calcolatore supporta costanti, monomi, polinomi e alcune funzioni elementari, tra cui seno, coseno, tangente, esponenziale e logaritmo naturale. Le funzioni composte e le espressioni più complesse non sono attualmente incluse.