Usa questo calcolatore gratuito di partizioni intere per trovare tutti i modi possibili di scrivere un numero intero positivo come somma di interi positivi. Il calcolatore determina anche la funzione di partizione \(p(n)\), che indica il numero totale di partizioni distinte.
Inserisci un numero intero compreso tra 1 e 25. Il calcolatore genera tutte le sue partizioni e mostra il numero totale di risultati distinti.
Valore massimo: 25. Il numero delle partizioni aumenta rapidamente al crescere del numero inserito.
Una partizione intera è un modo di esprimere un numero intero positivo come somma di interi positivi. La caratteristica fondamentale è che l'ordine degli addendi non è importante.
Per esempio, le partizioni intere del numero 5 sono:
Poiché esistono sette partizioni distinte, si ottiene:
Le espressioni \(4+1\) e \(1+4\) rappresentano la stessa partizione intera, perché la posizione degli addendi non cambia la partizione.
La funzione di partizione, indicata con \(p(n)\), conta il numero di modi distinti in cui un intero non negativo \(n\) può essere scritto come somma di interi positivi. Per convenzione, \(p(0)=1\).
I primi valori della funzione sono:
Il numero delle partizioni cresce rapidamente al crescere di \(n\). Ecco alcuni valori di riferimento:
| Numero \(n\) | Partizioni \(p(n)\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 7 |
| 6 | 11 |
| 7 | 15 |
| 8 | 22 |
| 9 | 30 |
| 10 | 42 |
| 15 | 176 |
| 20 | 627 |
| 25 | 1958 |
Il calcolatore utilizza un algoritmo ricorsivo per generare le partizioni. A ogni passaggio seleziona il successivo addendo e riduce il valore che resta da rappresentare.
Per evitare duplicati, ogni nuovo addendo deve essere minore o uguale al precedente. In questo modo, tutte le partizioni vengono prodotte in ordine non crescente.
Per esempio, dopo aver generato \(4+1\), il programma non aggiunge anche \(1+4\), perché le due espressioni descrivono la stessa partizione.
Il calcolatore utilizza inoltre la memoizzazione: conserva i risultati intermedi già calcolati e li riutilizza quando necessario. Questo evita di ripetere inutilmente alcune operazioni durante la generazione delle partizioni.
Le partizioni e le composizioni sono due modi per rappresentare un numero come somma di interi positivi. La differenza principale riguarda l'importanza dell'ordine degli addendi.
In una partizione, l'ordine degli addendi non conta.
In una composizione, invece, l'ordine degli addendi è importante. Pertanto, \(4+1\) e \(1+4\) sono considerate due composizioni differenti.
Il numero 3 ha tre partizioni distinte: \[ p(3)=3 \]
Il numero 4 ha cinque partizioni distinte: \[ p(4)=5 \]
È un modo di scrivere un numero intero positivo come somma di interi positivi, senza considerare l'ordine degli addendi. Per esempio, \(4+1\) e \(1+4\) rappresentano la stessa partizione di 5.
La funzione \(p(n)\) indica il numero totale di partizioni intere distinte di \(n\). Per esempio, \(p(4)=5\) e \(p(5)=7\).
Il numero 5 ha sette partizioni intere: \(5\), \(4+1\), \(3+2\), \(3+1+1\), \(2+2+1\), \(2+1+1+1\) e \(1+1+1+1+1\). Pertanto, \(p(5)=7\).
No. Nelle partizioni intere l'ordine non conta. Ad esempio, \(4+1\) e \(1+4\) vengono considerate la stessa partizione.
Nelle partizioni l'ordine degli addendi non conta, mentre nelle composizioni le diverse disposizioni degli addendi vengono conteggiate separatamente.
Il numero 10 ha 42 partizioni intere distinte. Quindi: \[ p(10)=42 \]
Il numero delle partizioni cresce rapidamente con il valore inserito. Poiché questo strumento mostra ogni singola partizione, gli input molto grandi possono generare elenchi estremamente lunghi e richiedere molte risorse. Il limite di 25 mantiene il calcolo pratico e la visualizzazione gestibile.
È possibile calcolarlo con metodi ricorsivi o con algoritmi di programmazione dinamica. Questo strumento genera tutte le partizioni possibili e ne conta i risultati. Per calcolare soltanto il valore di \(p(n)\), senza elencare ogni partizione, si possono usare algoritmi più efficienti.