Calcola la somma dei fattoriali
Che cos'è un fattoriale?
Il fattoriale di un intero non negativo \(n\), indicato con \(n!\), è il prodotto di tutti gli interi positivi da 1 a \(n\).
Per esempio:
Due casi particolari importanti sono:
I fattoriali sono utilizzati in combinatoria, permutazioni, probabilità, serie matematiche, coefficienti binomiali e in molti altri ambiti della matematica.
Che cos'è una somma di fattoriali?
Una somma di fattoriali consiste nell'addizionare più valori fattoriali. Per esempio, la somma dei fattoriali da 1 a 5 è:
Sostituendo ciascun fattoriale con il suo valore, si ottiene:
Con la notazione sigma, una somma di fattoriali da \(a\) a \(b\) si scrive:
Questo calcolatore determina esattamente la somma finita per l'intervallo che hai inserito.
Esiste una formula per la somma dei fattoriali?
È naturale chiedersi se una somma come \(\sum_{k=1}^{n}k!\) possa essere ridotta a una formula semplice, come accade per la somma dei quadrati o dei cubi.
A differenza di alcune somme polinomiali note, come \(\sum k\), \(\sum k^2\) e \(\sum k^3\), la normale somma finita \(\sum_{k=1}^{n}k!\) non dispone di una semplice formula elementare chiusa.
Per questo il calcolatore determina ogni fattoriale e poi li somma, invece di applicare una formula appartenente a un altro tipo di serie.
Per esempio:
I fattoriali crescono molto rapidamente. Perciò il calcolatore usa aritmetica intera a precisione arbitraria, anziché numeri in virgola mobile soggetti ad arrotondamenti.
Esempi di somme di fattoriali
Questi esempi illustrano alcuni calcoli frequenti.
Somma da 1 a 3
Somma da 1 a 4
Somma da 1 a 5
Somma da 1 a 6
Somma da 3 a 6
Somma da 0 a 5
Fattoriali e combinatoria
I fattoriali sono un elemento fondamentale della combinatoria. Per esempio, il numero di modi in cui si possono ordinare \(n\) oggetti distinti è:
I fattoriali compaiono anche nei coefficienti binomiali:
Per questo i calcoli con i fattoriali sono strettamente collegati a permutazioni, combinazioni, triangolo di Pascal e somme binomiali.
Fattoriali grandi e aritmetica esatta
I fattoriali diventano molto grandi in poco tempo. Per esempio:
I fattoriali più grandi possono contenere moltissime cifre. I normali numeri in virgola mobile non sono adatti quando serve un risultato intero esatto.
Questo calcolatore utilizza l'aritmetica GMP a precisione arbitraria, così fattoriali e somme vengono calcolati senza errori di arrotondamento dovuti alla virgola mobile.
Il valore finale può arrivare fino a 5.000. Per gli intervalli più ampi, la tabella dettagliata viene nascosta per mantenere la pagina leggibile.
Somme di fattoriali in notazione sigma
La notazione sigma permette di esprimere una somma in forma compatta. Invece di elencare tutti i fattoriali, si può scrivere:
Per esempio, la somma dei fattoriali da 3 a 6 è:
Per calcolare somme finite generiche, non limitate ai fattoriali, prova il calcolatore sigma.
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Domande frequenti
Qual è la formula per la somma dei fattoriali?
Una somma finita di fattoriali si può scrivere così:
A differenza di alcune somme di potenze, la somma ordinaria \(\sum_{k=1}^{n}k!\) non ha una semplice formula elementare chiusa.
Quanto vale \(0!\)?
Per definizione, \(0! = 1\).
Quanto vale \(1!\)?
\(1! = 1\).
Quanto vale \(5!\)?
\(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\).
Quanto vale la somma dei fattoriali da 1 a 5?
Quanto vale la somma dei fattoriali da 3 a 6?
Il calcolatore può gestire fattoriali grandi?
Sì. Usa l'aritmetica intera GMP a precisione arbitraria, mantenendo esatti i risultati anche quando i valori superano i limiti dei normali tipi interi, entro il limite massimo impostato nel calcolatore.
Il calcolatore mostra ogni fattoriale della somma?
Sì, quando l'intervallo contiene al massimo 51 termini. Per intervalli più ampi, il calcolo resta esatto ma la tabella dettagliata viene nascosta per rendere la pagina più chiara.
Qual è la differenza tra un fattoriale e una somma di fattoriali?
Un fattoriale è un singolo prodotto, per esempio \(5! = 120\). Una somma di fattoriali addiziona più fattoriali, per esempio:
Questo strumento calcola la seconda espressione.