Calcola un integrale improprio
Esempi di funzioni: 1/x^2,
exp(-x) e 1/sqrt(x).
Che cos'è un integrale improprio?
Un integrale improprio è un integrale per il quale almeno una delle condizioni del normale integrale definito non è soddisfatta. Questo accade, per esempio, quando un estremo dell'intervallo è infinito oppure quando la funzione diventa illimitata in un punto dell'intervallo.
Integrale con estremo infinito
L'integrale viene definito tramite il limite dell'integrale su intervalli finiti:
Integrale con una singolarità
In questo esempio la funzione non è definita in x = 0, ma l'integrale improprio converge a un valore finito.
Tipi di integrali impropri
Da un numero a più infinito
Da meno infinito a un numero
Su tutta la retta reale
Perché l'integrale sull'intera retta converga nel senso usuale, entrambi gli integrali impropri devono convergere separatamente.
Esempi di integrali impropri
1. Integrale convergente con limite infinito
La funzione diminuisce abbastanza rapidamente da produrre un integrale finito.
2. Integrale esponenziale
L'esponenziale decrescente porta a un valore finito.
3. Singolarità all'estremo
Il valore della funzione cresce senza limite vicino a zero, ma l'integrale converge.
4. Integrale divergente
Questo integrale diverge: il suo valore cresce senza limite.
Convergenza e divergenza
Un integrale improprio converge se il limite che lo definisce esiste ed è finito. Diverge se il limite non esiste oppure è infinito.
Il controllo numerico può aiutare a identificare risultati instabili, ma non sostituisce una dimostrazione matematica. In particolare, le singolarità interne all'intervallo e le cancellazioni numeriche possono richiedere metodi specifici.
Funzioni supportate
- Operazioni aritmetiche:
+,-,*,/ - Potenze:
x^2,x^3,x^(-1) - Parentesi:
(x+1)^2 - Moltiplicazione implicita:
2x,2(x+1) - Radice quadrata:
sqrt(x) - Valore assoluto:
abs(x) - Funzioni trigonometriche:
sin(x),cos(x),tan(x) - Esponenziale:
exp(x) - Logaritmi:
ln(x),log(x) - Costanti:
pi,e
Gli argomenti delle funzioni trigonometriche sono espressi in radianti.
Metodo numerico
Sugli intervalli finiti regolari, il calcolatore usa la regola composita di Simpson:
Gli intervalli infiniti vengono trasformati in intervalli finiti. Alcune singolarità agli estremi vengono trattate con trasformazioni della variabile. Non tutti i casi patologici possono essere risolti automaticamente.
Domande frequenti
Che cos’è un integrale improprio?
Un integrale improprio è un integrale con almeno un estremo infinito oppure con una funzione che non è limitata o non è definita in un punto dell’intervallo di integrazione.
Come si calcola un integrale improprio?
La definizione matematica utilizza un limite. Per una stima numerica, un intervallo infinito o un estremo singolare può essere trasformato in un intervallo finito e poi integrato numericamente.
Posso inserire infinito come limite?
Sì. Usa -INF per meno infinito e INF oppure +INF per più infinito.
Un risultato finito dimostra che l’integrale converge?
No. Un risultato numerico finito non costituisce una dimostrazione di convergenza. La convergenza deve essere verificata con argomenti matematici appropriati.
Quali funzioni matematiche sono supportate?
Sono supportate le operazioni aritmetiche, le potenze, x, pi, e, sqrt, abs, sin, cos, tan, exp, ln e log.
Il calcolatore gestisce tutte le singolarità?
No. Il calcolatore gestisce alcune singolarità agli estremi tramite trasformazioni numeriche, ma non riconosce automaticamente tutte le singolarità interne o tutti i casi di divergenza.
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