Integrazione per parti Passo dopo passo Analisi matematica Calcolatore online gratuito

Calcolatore di integrazione per parti

Applica l'integrazione per parti passo dopo passo utilizzando la formula \[ \int u\,dv = uv-\int v\,du \] Inserisci \(u\) e \(dv\) per vedere come derivare \(u\), integrare \(dv\) e sostituire i risultati nella formula.

Calcola l'integrazione per parti

Inserisci le espressioni da utilizzare per \(u\) e \(dv\). Alcuni esempi comuni sono x con sin(x) oppure x con exp(x).

Formula dell'integrazione per parti

L'integrazione per parti deriva dalla regola di derivazione del prodotto. La formula fondamentale è:

\[ \boxed{ \int u\,dv = uv-\int v\,du } \]

Questo metodo trasforma un integrale in un altro integrale. L'obiettivo è scegliere \(u\) e \(dv\) in modo che l'integrale rimanente \[ \int v\,du \] sia più semplice da calcolare rispetto a quello iniziale.

Come funziona l'integrazione per parti?

Il procedimento si articola in quattro passaggi fondamentali:

Scegliere \(u\).
Derivare \(u\) per ottenere \(du\).
Scegliere \(dv\) e integrarlo per ottenere \(v\).
Sostituire i risultati nella formula \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).

Idea fondamentale: scegli \(u\) in modo che la sua derivata semplifichi l'espressione. Allo stesso tempo, scegli \(dv\) in modo che sia relativamente facile da integrare.

Come scegliere \(u\)? La regola LIATE

Una regola pratica frequentemente utilizzata per scegliere \(u\) è LIATE. Suggerisce un ordine di preferenza quando un integrale contiene il prodotto di funzioni appartenenti a categorie diverse.

LIATE è una regola pratica, non un requisito matematico. Per alcuni integrali esistono più modi ragionevoli di scegliere \(u\) e \(dv\).

Esempi di integrazione per parti

Esempio 1: \(\int x\sin(x)\,dx\)

Una scelta comune è:

\[ u=x, \qquad dv=\sin(x)\,dx \]

Di conseguenza:

\[ du=dx, \qquad v=-\cos(x) \]

Applicando la formula dell'integrazione per parti otteniamo:

\[ \int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \int\cos(x)\,dx \]

\[ \int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x)+\sin(x)+C \]

Esempio 2: \(\int x\cos(x)\,dx\)

Scegliamo:

\[ u=x, \qquad dv=\cos(x)\,dx \]

Otteniamo:

\[ du=dx, \qquad v=\sin(x) \]

Applicando l'integrazione per parti:

\[ \int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int\sin(x)\,dx \]

Pertanto:

\[ \int x\cos(x)\,dx = x\sin(x)+\cos(x)+C \]

Espressioni matematiche supportate

Il calcolatore riconosce diverse espressioni comuni di una variabile per determinare \(du\) e \(v\).

Nota: l'analisi simbolica comprende molte più regole di quelle contenute in un elenco fisso di espressioni. Se un'espressione non viene riconosciuta direttamente, il calcolatore mostra l'operazione di derivazione o integrazione corrispondente, senza fingere di aver calcolato un risultato esplicito.

Quando è utile l'integrazione per parti?

L'integrazione per parti è particolarmente utile per gli integrali che contengono prodotti di funzioni diverse. Alcuni casi frequenti sono:

Polinomi moltiplicati per funzioni esponenziali.
Polinomi moltiplicati per seno o coseno.
Polinomi moltiplicati per funzioni logaritmiche.
Funzioni logaritmiche che si semplificano derivandole.
Funzioni trigonometriche inverse.
Integrali definiti che richiedono applicazioni ripetute del metodo.

Integrazione per parti ripetuta

Alcuni integrali richiedono di applicare il metodo più volte. Questo accade spesso quando un polinomio è moltiplicato per una funzione esponenziale o trigonometrica.

Per esempio, derivando ripetutamente il polinomio \(x^2\), si arriva infine a zero:

\[ x^2 \rightarrow 2x \rightarrow 2 \rightarrow 0 \]

Per questo motivo, l'integrazione per parti ripetuta è particolarmente adatta a molti integrali che contengono prodotti di polinomi e funzioni esponenziali o trigonometriche.

Integrazione per parti negli integrali definiti

Lo stesso metodo può essere utilizzato anche per gli integrali definiti. Invece di aggiungere una costante di integrazione arbitraria \(C\), si valuta il risultato agli estremi dell'intervallo:

\[ \int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du \]

Se hai bisogno del risultato numerico di un integrale definito, utilizza il calcolatore di integrali definiti oppure il calcolatore di integrazione numerica .

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Integrazione e derivazione

L'integrazione per parti è direttamente collegata alla derivazione attraverso la regola del prodotto:

\[ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \]

Riordinando e integrando questa relazione si ottiene la formula dell'integrazione per parti.

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Domande frequenti

Che cos'è l'integrazione per parti?

L'integrazione per parti è una tecnica dell'analisi matematica che permette di trasformare l'integrale di un prodotto di funzioni. La formula è: \[ \int u\,dv=uv-\int v\,du. \]

Come scelgo \(u\) e \(dv\)?

Una regola pratica è LIATE: funzioni logaritmiche, inverse trigonometriche, algebriche, trigonometriche ed esponenziali. Quando un integrale contiene un prodotto, spesso è conveniente scegliere come \(u\) la funzione che compare prima in questo ordine.

Che cosa significa \(dv\)?

\(dv\) rappresenta la parte dell'integrale che viene integrata per ottenere \(v\). Una volta determinato \(v\), è possibile applicare la formula dell'integrazione per parti.

Perché la formula contiene un segno meno?

Il segno meno deriva dal riordinamento della regola del prodotto. Partendo da \[ d(uv)=u\,dv+v\,du \] e isolando il termine desiderato, si ottiene: \[ \int u\,dv=uv-\int v\,du. \]

È possibile applicare più volte l'integrazione per parti?

Sì. Alcuni integrali richiedono applicazioni successive del metodo. È frequente nei prodotti di polinomi con funzioni esponenziali o trigonometriche.

Questo calcolatore risolve tutti gli integrali per parti?

Il calcolatore è progettato per espressioni simboliche comuni e mostra la struttura del procedimento. Per risolvere qualsiasi integrale simbolico è necessario un sistema completo di algebra computazionale, perché potrebbero essere richiesti metodi di integrazione aggiuntivi.

Quale calcolatore devo usare per un integrale definito numerico?

Utilizza il calcolatore di integrali definiti oppure il calcolatore di integrazione numerica se hai bisogno di un valore numerico su un intervallo specifico.

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